许多问题本就无解，但数学(xue)家们仍在苦苦钻研。
与其将这些经典问题当成引人(ren)坠入深渊的妖魔，
不如将其看作激(ji)发创造思维的缪斯女神。
不可能的问题
我们总说：“世上无难(nan)事”。在诺顿·贾斯特(te)的小说《神奇的收费亭》中，国王因(yin)为“许多事情，只要你相信，它就能实现”而拒绝告(gao)诉米洛他的探索是不可能的(de)事情。然而，现实中有100些事确实办不到，这一点是可以用数学证明的。
“不(bu)可能”的含义有(you)很多：它可以描述“几乎不可能发生的(de)事情”，比如两幅扑克(ke)被洗过牌后，顺序仍完(wan)全一致；也可以描述“由于时间(jian)、空间或资源不足而(er)几乎不可能实现的任务”，比如把(ba)国家图书馆中的藏书(shu)全部誊写一遍；还可以指(zhi)“自然法则不允许存在的东(dong)西”，比如永动机(ji)，它的存在违背了物(wu)理原理。
但数学上的“不可能”与这些(xie)都不同。我们用明确的假设、数学的推(tui)理和严密的逻辑证明某些结果是(shi)不可能的。再多的运气、毅力、时(shi)间或技能都无法改变这一事实。数学史(shi)中，关于不可能的(de)证明数不胜数，许多还是最负(fu)盛名的数学成果。然而，情况(kuang)并非总是如此。
不“万能”的尺规作图(tu)
毕达哥拉斯的追(zhui)随者希帕索斯可能是第一(yi)个证明“不可能”的人，他因此遭受了(le)严厉的惩罚。历(li)史学家认为，公元前五世纪时希帕(pa)索斯发现，要想用同一条线段首(shou)尾相接地测量正五(wu)边形边长和对角线长度是办不到的(de)。边长为1的正五边形，对角线长度是(shi)φ=(1+√5)/2，今天我们将这(zhe)种数称之为“无理数(shu)”。希帕索斯的发现违背了毕达哥拉(la)斯学派“一切都是数字(zi)”的信仰，因此，传说他要么在海上淹(yan)死了，要么被驱逐(zhu)出了毕达哥拉斯学派。
一个多世纪后，欧几里(li)得赋予了直线和圆“几(ji)何学基本曲线”的地位。于是，一代又(you)一代的几何学家在解决诸如(ru)平分角、画垂直平分线(xian)等等问题时，开始只使用圆规和直尺(chi)。某些看似简单的(de)问题，令希腊几何(he)学家一筹莫展，诸如将任意角三等分(fen)、将正方体体积变为原(yuan)来的两倍、构造任意正多边形、构(gou)造一个与圆相同面积的正方(fang)形。这些问题最终到达了神话般的(de)高度，困扰了数学家(jia)两千多年。
图1 古老的(de)问题仅用尺规作图，能够(gou)画出下列结构吗？
左上：将任意大小(xiao)的角三等分；右上：构造(zao)正方体的一条边，使(shi)新正方体的体积等于给(gei)定正方体的两倍；左下：构造(zao)正n边形，n是大于2的任(ren)意整数；右下：画出(chu)一个与给定圆面积相同的(de)正方形
虽然这些本质(zhi)上是几何问题，但证明它们不可解却需(xu)要新的数学理论。
17世纪，笛卡尔有了一个根本性的发现：给定(ding)一条长度为1的线段(duan)后，尺规作图只能构造出能用整数和(he)加、减、乘、除(chu)、平方根表示出来的长(chang)度，比如黄金分割数(1+√5)/2。
因此，只(zhi)要证明某一长度写不成上面的形式(shi)，也就证明了它没com法用尺规作图画出来。这要用到彼(bi)时方兴未艾的领域——代数。
两个世纪后的1837年，笛卡尔的同胞皮埃尔(er)·万策尔运用“多项式和多项式的根(gen)”的思路攻克了这(zhe)一经典问题。万(wan)策尔证明了能用尺规(gui)画出的长度，必须是2n阶多项式的根，也就是说，多项式中最高(gao)次项的次数必须是2的幂。例如(ru)，黄金比例是多项式x2?x?1的根，所以可以通过尺规(gui)作图画出；在立方倍(bei)增问题里，将棱长为1的正方体体积(ji)增加一倍后得到(dao)的立方体棱长是3√2，它是多(duo)项式X3-2的根，仅仅利用尺(chi)规作图是画不出(chu)的。
利用类似的方法(fa)，他还证明了无法(fa)通过尺规作图将任意角三等分，或者(zhe)构造出任意正多边(bian)形（比如正七边(bian)形）。值得注意的是，这三个关于不(bu)可能的证明都出现在同一(yi)页上。就像艾萨克·牛顿和阿(a)尔伯特·爱因斯坦的“奇迹年”一(yi)样，我们也可以将其(qi)称之为“奇迹一页”。
现在还剩一个“将圆变方”的问题没有解决。这还需要一点新东西(xi)。1882年，林德曼得到了关(guan)键的结果。通过(guo)证明π是超越数——因而π不是任(ren)何多项式的根——林德曼证明了π是无法利用尺规作(zuo)图构造出来的。所以“将圆变方(fang)”的尺规作图也是不(bu)可能实现的。
七桥问题
让我(wo)们看看一个稍晚一些的“不可(ke)能”问题，它来自(zi)于简单的过桥问题。在匹茨堡就有很多(duo)桥梁，这时有一个爱冒险的(de)自行车手想出一个点(dian)子，他想知道自己能不能从家里(li)出发，然后在横跨匹(pi)茨堡主要河流的22座桥梁上各自只通过一次，最(zui)后重新回到家呢？
时间(jian)来到1735年，普鲁士的一位市(shi)长就向欧拉提出过同样(yang)的问题：哥尼斯堡有七座桥，连接三个(ge)河岸和一个岛屿，能不能不重复地走完全部的桥？起初，欧拉回绝道：“这问题跟数学无(wu)甚联系，你为什么指望数(shu)学家能给你解答呢？”
然而，欧拉很快就证(zheng)明了这是不可能的，同(tong)时开辟了一个领域，称之为“位置的几何学”。现(xian)在我们叫它拓扑学(xue)。他认识到，确切的细节(jie)（比如桥的精确位置、陆地的形状等等）并不重要，重要的是它们(men)如何连接。后来的数学家用图(tu)论精简了欧拉的论证。这种(zhong)“连通性”的概念是(shi)研究社交网络、互联(lian)网、流行病学、语言学、路线规(gui)划等问题的核心。
图2 哥尼斯堡七桥问题欧(ou)拉摈除了不重要的(de)细节，只留下最基本的元素(su)，证明了无法不重复也不遗漏(lou)地走完这座城市的七座(zuo)桥。后来这种方法表(biao)示成了更抽象的“图”。
欧拉(la)的证明出人意料的(de)简单。他推理说，每次我们进(jin)入和离开一片陆地都必须经过两(liang)座桥，因此每块陆地上桥(qiao)的个数必须是偶数。哥尼斯堡的每块(kuai)大陆都有奇数座桥，所以这种路线是(shi)不存在的。类似(si)的，我们的自行车手如果想在匹茨堡的(de)阿勒格尼河上的3座(zuo)桥上完成自行车环行，这在数(shu)学上也是不可能的。
不仅仅是数学
关于“不可能”的证明(ming)不但影响了抽象数学，也影响了现实(shi)生活，甚至政治(zhi)领域。
最近，数学家(jia)们把注意力转向了“格里蝾螈”（gerrymandering）。“格里蝾螈”指(zhi)的是美国的一种政治现象：每次人口普查后，各州必(bi)须重新划定自己的(de)国会选区，执政党为了(le)最大限度地扩大自己的席位，实现政治权力最大化，有时会(hui)将一个州的领土划分成十分怪异的形状(zhuang)，比如像一只张牙舞爪的火蜥蜴。
（图源网络）1812年(nian)，马萨诸塞州议员为了政党利益，在埃塞克斯县边缘，划出了一个形(xing)状奇怪的区域，格(ge)里蝾螈一词由此而来。
许多州要求选区必须是(shi)“紧凑的”，这个术语起初并没有固定(ding)的数学定义。1991年，丹尼尔·波尔斯比和(he)罗伯特·波普尔提出，可以用4πA/P2将“紧凑”的(de)程度量化，其中A是面(mian)积，P为周长。圆形的(de)区域得分为1，扭曲畸形的区域得分为0。
2014年，尼古拉斯·斯特凡诺普洛斯和埃里克·麦基提出(chu)了另一个衡量重新划分选区(qu)的政治公平性的指标：“效率缺口(kou)”。一个政党为了让对手党(dang)浪费的选票最大化，会有两个划分选区的策略：要么让对(dui)手党的选票刚好低于50%，要么使之(zhi)尽量接近100%。任何一种策略都(dou)会迫使其他党派(pai)把选票浪费在失去候选人或赢(ying)得不需要选票的候选人身上。。效(xiao)率缺口描述了浪费选票的相对值。
以上两种都是检测格里(li)蝾螈的有效手段。但(dan)在2018年，鲍里斯·阿列克谢耶夫(fu)和达斯汀·密克逊证明一个(ge)结论：“有时，只有形状怪异的地区才(cai)有可能出现小的效率缺口。”也(ye)就是说，从数学上讲，选区的(de)形状并不总是能同时满足以上两(liang)种检测公平性的条件。
然而，格里蝾(rong)螈问题已经成为了一个活跃的学术(shu)领域，吸引着许多有才华的研究人员(yuan)。就像尺规作图和七桥问题(ti)一样，这一问题一定也会激发创造力，推动数学的发展。
作者：David S.Richeson
翻译：xux
审校：Dannis
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