几何布bu朗运动,几何布朗运动的期望

几何布朗运yun动就是物理中典型的随机运动，其qi特点就是不可预测，而在股市中的短duan期股票价格也是shi不可预测。

几何布朗lang运动

一、正zheng态随机变量概率密度函han数描述：

(μ为总体均数、σ为标准差）

二、布朗运yun动的数学描述：

价格时间函数P(x），T+t时刻的价格P(T+t)与T时刻价格P(T)的de差值：P(T+t)-P(T)是shi一个正态随机变量，分布的平ping均期望值μt，标准差为。（T0，t0)

重大缺陷：

1、按此价格理论上可ke有负值，但实际ji中价格不可能存在负值。

2、不论价格初值为何he值，固定时间长度的de价格差具有相同的正态分布，不符合常理。

三、几何布朗运动：

把价格差改为价格的涨跌幅：可以避免mian直接使用布朗运动描miao述价格的缺陷，即为几何布朗运动。

是一个ge正态随机变量，分布的平均期望值μt，标准差为。（T0，t0)

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几何布朗运动

几何布朗运动的作用yong是用来模拟股价的变动。它ta的好处在于，一般形式布朗运动中取qu值可能为负数，而几何布朗运动取值zhi永远不小于0，这zhe一点符合股价永远yuan不为负的特征。

几何he布朗运动微分形式的表述shu。或者称SDE（随机微分方程）形xing式：

其中的deS(t)可以理解为股gu价。

几何布朗运动函han数形式表述：

上述式子告诉su我们，可以先生成一服从的de一般形式布朗运动，然后求其指数函han数，最后乘以S(0)，即期qi初的股价，就可ke以得到几何布朗运动。

补充：为何he这里t的系数多duo出一项？具体可以参考伊藤公gong式。

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几何he布朗运动 (GBM) (也叫jiao做指数布朗运动) 是连续xu时间情况下的随机过程,其中zhong随机变量的对数遵循布朗运动,[1] also called aWiener process.几何布朗运动在金jin融数学中有所应用,用来在布莱克-舒shu尔斯定价模型中模仿股票价格ge.

分数布bu朗运动

世界是非线性xing的,宇宙万物绝大部分不是有序的、线xian性的、稳定的,而是shi混沌的、非线性的、非fei稳定和涨落不定的沸腾teng世界.有序的、线xian性的、稳定的只存在于我们自zi己构造的理论宫殿,而现实宇yu宙充满了分形.在股票市场的de价格波动、心率及脑波的波bo动、电子元器件中zhong的噪声、自然地貌等大量的自然ran现象和社会现象中存在着一类近乎全quan随机的现象,它们具有如下特性xing：在时域或空域上有自相似性和he长时相关性和继承性；在zai频域上,其功率谱密mi度在一定频率范围内nei基本符合1/f的de多项式衰减规律.因此被称为1/f族随机过程.Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分fen数布朗运动(fractional Brownian motion,FBM)模型是shi使用最广泛的一种,它ta具有自相似性、非平ping稳性两个重要性质,是许多自然ran现象和社会现象的内在特性.分fen数布朗运动被赋fu予不同的名称,如分形布朗运动dong、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等.

没听过几何布朗运动

貌似有布朗lang运动和布朗实验

悬浮微粒不停地做无规gui则运动的现象叫做布bu朗运动

这zhe是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察cha悬浮在水中的花粉是发现的。后hou来把悬浮微粒的这种zhong运动叫做布朗运动。不只是花粉和he小炭粒，对于液体中各ge种不同的悬浮微wei粒，都可以观察到布朗运动dong。

那么，布朗lang运动是怎么产生的呢？在显微镜下xia看起来连成一片的液体，实shi际上是由许许多多分子组成的。液体ti分子不停地做无规则的运动，不断地抓zhua高年级微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方fang向的液体分子的撞击作用是不平ping衡的。在某一瞬间，微粒在zai另一个方向受到的de撞击作用强，致使微粒li又向其它方向运动。这样yang，就引起了微粒的无规则的布bu朗运动。

1827年，苏格兰lan植物学家R。布朗发现水中的de花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地di作不规则的折线xian运动，称为布朗运动。人们长期都不知zhi道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微wei小颗粒是受到周围分fen子的不平衡的碰撞而导致的运动。后hou来得到爱因斯坦的研究jiu的证明。布朗运动也就成为分子运动论lun和统计力学发展的基础。

悬浮在液体或气qi体中的微粒(线度~10－3mm)表现出的永不停止的无规则运动，如墨汁稀释后碳粒在水中的无wu规则运动，藤黄颗粒li在水中的无规则运动……．而且温度越高，微粒的布bu朗运动越剧烈．布朗运动代表了le一种随机涨落现象，它不bu仅反映了周围流体内部bu分子运动的无规则性，关于yu它的理论在其他许多领域也ye有重要应用，如对测量仪表测量精度限xian度的研究、对高gao倍放大的电讯电路中背景噪声的de研究等等．

19世纪中对布朗运yun动的研究

布朗的发现是一个新xin奇的现象，它的原因是什么？人们是shi迷惑不解的。在布朗之后，这一问wen题一再被提出，为此ci有许多学者进行过长期的研究。一些早zao期的研究者简单地把它归结为热或huo电等外界因素引起的。最早隐约指zhi向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布bu朗运动起源于分子的振动，他ta还公布了首次对微粒速度与粒度关系的de观察结果。不过他的de分子模型还不是现xian代的模型，他看到的实际上是微wei粒的位移，并不是shi振动。

在维纳na之后，S·埃克斯纳也测定了微粒的de移动速度。他提出布朗运动是由you于微观范围的流liu动造成的，他没有说明这种流liu动的根源，但他ta看到在加热和光照使液ye体粘度降低时，微wei粒的运动加剧了。就这样，维wei纳和S.埃克斯纳都把ba布朗运动归结为物wu系自身的性质。这一yi时期还有康托尼，他试图在热re力理论的基础上解释布朗运动dong，认为微粒可以看成是巨大da分子，它们与液ye体介质处于热平衡，它们与yu液体的相对运动起源于yu渗透作用和它们与周围wei液体之间的相互作用。

到dao了70——80年代，一些学者明确地把布朗运yun动归结为液体分子zi撞击微粒的结果，这些学者有卡ka蓬内尔、德尔索和梯瑞rui昂，还有耐格里。植物学家耐格里(1879)从真菌、细菌等通过空气传播的现xian象，认为这些微粒即使在静止的空kong气中也可以不沉。联系到物理学中zhong气体分子以很高速度向各方向运yun动的结论，他推测在阳光下看到的de飞舞的尘埃是气体ti分子从各方向撞击的de结果。他说：“这些微小尘埃就象弹dan性球一样被掷来掷去，结果guo如同分子本身一样能保bao持长久的悬浮。”不过耐nai格里又放弃了这一可能达到正确解jie释的途径，他计算了单个气qi体分子和尘埃微粒发生弹性碰peng撞时微粒的速度，结果guo要比实际观察到的de小许多数量级，于yu是他认为由于气体分子运yun动的无规则性，它们共同作用yong的结果不能使微粒达到观察cha速度值，而在液体中则由于介质zhi和微粒的摩擦阻zu力和分子间的粘附力，分子运yun动的设想不能成为合适的解释。

1874——1880年间，卡蓬内尔、德耳索和he梯瑞昂的工作解决了耐格ge里遇到的难题。这里的关键是他们认为由于分子运动dong的无规则性和分子速度有you一分布，在液体或气体中zhong的微观尺度上存在密度和压力li的涨落。这种涨落在宏观尺chi度上抵消掉了。但是如果压ya方面足够微小，这种zhong不均匀性就不能抵消xiao，液体中的相应的扰动就能表biao现出来。因此悬浮在液体中zhong的微粒只要足够gou小，就会不停地振zhen荡下去。卡蓬内尔明确地指出唯一影ying响此效应的因素是微粒的de大小，不过他把这种运动主要看成振zhen荡，而德耳索根据克劳lao修斯把分子运动dong归结为平动和转动的de观点，认为微粒的运动是shi无规则位移，这是德de耳索的主要贡献。

此后，古gu伊在1888——1895年期qi间对布朗运动进行过guo大量的实验观察。古伊对分子行为的描miao述并不比卡蓬内尔等人高明，他也没有you弄清涨落的见解。不过他的特别之处chu是他强调的不是对布朗运动的物理解释shi，而是把布朗运动作为探tan究分子运动性质的一个工具。他说：“布朗运动表明，并不是分子的运动dong，而是从分子运动导出的一些结果guo能向我们提供直接的和he可见的证据，说明对热本ben质假设的正确性。按an照这样的观点，这一现象的研究承担dan了对分子物理学的重要作用。”古伊的文献产生过重要的影ying响，所以后来贝兰把布朗运yun动正确解释的来源归gui功于古伊。

到了1900年，F·埃克斯si纳完成了布朗运yun动前期研究的最后工作。他用了许多悬xuan浊液进行了和他的父亲S·埃克斯纳30年前作过的de同类研究。他测ce定了微粒在1min内的位移，与yu前人一样，证实了微粒的速度随粒度du增大而降低，随温度du升高而增加。他清楚地di认识到微粒作为巨大分子加入了液体ti分子的热运动，指出从这一观点出发“就可以得出微粒的动能和温度du之间的关系。”他说：“这种可见的运yun动及其测定值对我们men清楚了解液体内部的运动会有you进一步的价值”。

以上是1900年前对布朗运动dong研究的基本情况。自然，这些研yan究与分子运动论的建立是密切相关的。由麦克斯威和玻尔兹曼在60——70年代建立的de气体分子运动论在概念上shang的一个重大发展zhan是抛弃了对单个分子进行详细跟踪的方fang法，而代之以对大da量分子的统计处理，这为弄清qing布朗运动的根源打下了基ji础。与布朗运动的研究jiu有密切关系的还有you在60年代由格ge雷哈姆建立的胶体科学。所谓胶体是由粒li度介于宏观粒子和微观分子之zhi间的微粒形成的分散体系，布朗运yun动正是胶体粒子在zai液体介质中表现的运动dong。

对于布朗lang运动的研究，1900年nian是个重要的分界线。至此，布bu朗运动的适当的物理模型xing已经显明，剩下的问题ti是需要作出定量的理li论描述了。

爱因斯坦的布朗运动理论lun

1905年，爱因yin斯坦依据分子运动论lun的原理提出了布朗运动的理论。就jiu在差不多同时，斯莫卢霍夫斯基也作zuo出了同样的成果。他们的理论圆满地回hui答了布朗运动的本质问题。

应该指出，爱因yin斯坦从事这一工gong作的历史背景是那na时科学界关于分子真实性的争论lun。这种争论由来已久，从原子分子理论lun产生以来就一直存在。本世纪初，以物理学xue家和哲学家马赫和化学家jia奥斯特瓦尔德为代表的一些人ren再次提出对原子分子理li论的非难，他们从实证论或huo唯能论的观点出发，怀疑原子和分子的de真实性，使得这一争论成cheng为科学前沿中的de一个中心问题。要回答这一问题，除开哲学上的分岐之外，就科ke学本身来说，就需要提ti出更有力的证据，证明ming原子、分子的真实存在。比如以往测定ding的相对原子质量和相对分子质量只是质zhi量的相对比较值，如果它们是真实shi存在的，就能够而且也ye必须测得相对原子质zhi量和相对分子质量liang的绝对值，这类问题需要人们回答。

由于上述情况，象爱因yin斯坦在论文中指出的那样，他ta的目的是“要找到能证实确实存在有you一定大小的原子的最有you说服力的事实。”他说shuo：“按照热的分子运动论，由于热的分子运动，大da小可以用显微镜看见的物体ti悬浮在液体中，必bi定会发生其大小可以用yong显微镜容易观测到的运动。可能这zhe里所讨论的运动就是所谓wei‘布朗分子运动’”。他认为只zhi要能实际观测到这种运动dong和预期的规律性，“精确测定原子zi的实际大小就成为wei可能了”。“反之，要是shi关于这种运动的预yu言证明是不正确的de，那么就提供了一yi个有份量的证据来反对热的分子zi运动观”。

爱因斯坦的成果大体上shang可分两方面。一是根据分子热运yun动原理推导

是在t时间里，微粒li在某一方向上位wei移的统计平均值，即方均根值，D是微粒的扩散系数。这一公式是看来毫无规则的布朗运动dong服从分子热运动规律的必然结果guo。

爱因斯坦成果guo的第二个方面是对于球形微wei粒，推导出了可以求算阿

式中zhong的η是介质粘度，a是微粒半径，R是气体常数，NA为阿伏加德罗常数。按an此公式，只要实际测得de准确的扩散系数D或huo布朗运动均方位 得到原子和分fen子的绝对质量。爱ai因斯坦曾用前人测定的糖在水中zhong的扩散系数，估算的NA值为3.3×1023，一年后(1906)又修xiu改为6.56×1023。

爱因斯坦的理论lun成果为证实分子的真实性找zhao到了一种方法，同时也圆满地di阐明了布朗运动dong的根源及其规律性。下面的工作就是要yao用充足的实验来检验这一理li论的可靠性。爱因斯坦说：“我不想xiang在这里把可供我使用的那些稀xi少的实验资料去同这理论的结果guo进行比较，而把它让给实验方面掌握这zhe一问题的那些人去做”。“但愿有一位研究者能够立即成功地di解决这里所提出的、对热理论关系xi重大的这个问题！”爱因斯坦提出的这zhe一任务不久之后就由贝兰(1870——1942)和he斯维德伯格分别出色的完成了le。这里还应该提到本世纪初在研究jiu布朗运动方面一个ge重大的实验进展是1902年nian齐格蒙第(1865——1929)发明了超chao显微镜，用它可直接看到和测定胶体ti粒子的布朗运动，这也就是证实了le胶体粒子的真实性，为此，齐qi格蒙第曾获1925年诺贝bei尔化学奖。斯维德de伯格测定布朗运yun动就是用超显微镜进行的。

贝兰测定阿伏加德罗luo常数的实验

1908到1913年期间，贝兰lan进行了验证爱因斯坦tan理论和测定阿伏fu加德罗常数的实验研究。他的de工作包括好几方面。在zai初期，他的想法是，既然在zai液体中进行布朗运动的微粒li可以看成是进行热运动的巨大分子，它们就应该遵循分fen子运动的规律，因此只要yao找到微粒的一种可ke用实验观测的性质zhi，这种性质与气体定ding律在逻辑上是等效xiao的，就可以用来测定阿伏加德罗常数shu。1908年，他想到液体中zhong的悬浮微粒相当于“可见分子的de微型大气”，所以微粒浓度(单位体积中的数目)的高度分布bu公式应与气压方程有相xiang同的形式，只是对粒子受到的浮力li应加以校正。这一yi公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波尔兹zi曼常数，自k和NA的关系，公gong式也可写成ln(n／n0)=-NA mgh(1-ρ／ρ0)／RT。根据此公式，从实验yan测定的粒子浓度的高gao度分布数据就可以计算k和NA。

为进行这种实验，先xian要制得合用的微粒。制备bei方法是先向树脂的酒精溶液中加入ru大量水，则树脂析出成各种尺chi寸的小球，然后用沉降分离的方fang法多次分级，就可以yi得到大小均匀的级ji份(例如直径约3／4μm的de藤黄球)。用一些精细的de方法测定小球的直径和密度。下一步是测定悬浮液中小球的高度du分布，是将悬浮液装在透明ming和密闭的盘中，用显微镜观察，待dai沉降达到平衡后，测定不同高度上的粒li子浓度。可以用快速照zhao相，然后计数。测得高度du分布数据，即可计算NA。贝兰lan及其同事改变各种实验条件：材料(藤teng黄、乳香)，粒li子质量(从1到dao50)，密度(1.20到1.06)，介质(水，浓糖水，甘油)和温wen度(-90°到60°)，得到的NA值是6.8×1023。

贝兰的另一种实验是测量布bu朗运动，可以说这是对分子热运动理li论的更直接证明。根据前qian述的爱因斯坦对dui球形粒子导出的公式，只要实shi验液，在选定的一段时shi间内用显微镜观察粒子的水shui平投影，测得许多位移数shu值，再进行统计平均。贝兰改变各种实shi验条件，得到的NA值是(5.5-7.2)×1023。贝兰还用yong过一些其它方法，用各种方法得到dao的NA值是：

6.5×1023 用类似气体悬浮液分布bu法，

6.2×1023 用类似液体ti悬浮液分布法，

6.0×1023 测定浓悬xuan浮液中的骚动，

6.5×1023 测定平动布朗运动，

6.5×1023 测定转动布bu朗运动。

这些结果相当一致zhi，都接近现代公认ren的数值6.022×1023。考虑到方法涉及许多物理li假设和实验技术上shang的困难，可以说这是shi相当了不起的。以后的许多duo研究者根据其它原理测定的No值都肯ken定了贝兰结果的正确性。与贝兰lan差不多同时，斯维德伯格(1907)用超显微镜观测金溶rong胶的布朗运动，在测定阿伏加德de罗常数和验证爱ai因斯坦理论上也作出了出色的工作。可ke以说他们是最先称得de原子质量的人，所以在1926年，贝兰和斯维德伯格分别获得了诺贝bei尔物理学奖和化hua学奖。

就这样，布朗运动自发现之后，经过多duo半个世纪的研究，人们逐渐接jie近对它的正确认识。到dao本世纪初，先是爱因斯坦和斯莫卢霍夫fu斯基的理论，然后hou是贝兰和斯维德伯格ge的实验使这一重大的科学问题得de到圆满地解决，并首次ci测定了阿伏加德de罗常数，这也就是为分子的真zhen实存在提供了一个直观的、令人信服的证据，这对基础chu科学和哲学有着巨大的意义。从cong这以后，科学上关于原子和分子真实性xing的争论即告终结。正如原先原子论的主要反对者奥斯特te瓦尔德所说：“布朗lang运动和动力学假说的一致，已yi经被贝兰十分圆满地证实了，这就jiu使那怕最挑剔的科学家也得承认这是shi充满空间的物质的原yuan子构成的一个实验证据”。数学家和物理学家彭加勒在1913年总结性地说道：“贝兰对原子数目的光辉hui测定完成了原子论的胜利”。“化学xue家的原子论现在是一个真实shi存在”。

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